1-6-1 자료취득과 FFT과정

Data Acquisition and FFT Processing

1-1 진동 분석과 자료취득

Vibration Analysis and Data Acquisition

진동 분석은 기계 진동 자료의 수집과 해석을 포함하는 두 단계의 과정이다. 이것의 목적은 기계의 기계적 상태를 알아내고, 어떤 특정한 기계적 또는 운전적 결함을 찾아내는 것이다. 자료 수집은 진동 분석의 필수적인 첫 단계이다. 왜냐하면 기계의 상태를 정확히 해석하기 위해서는 정확한 조건하에서 정확한 자료가 수집되어야 하기 때문이다. 예를 들면 1750 rpm 전동기의 상태를 알기 위해서는 진동 변위 및 속도 자료가 수집되어야 한다. 기계가 고속 기어박스에서 6000 rpm으로 운전을 한다면 기계의 상태를 평가하기 위해서는 가속도 자료를 추가로 수집하는 것이 중요하다. 자료 수집 절차는 다음과 같다.

① 기계의 설계와 운전특성의 검토 : RPM, 베어링 형태, 기어, 기계의 정비이력 (문제점), 기계의 일상 관찰 상태(그라우트, 이완, 소음 등), 운전특성, 온도, 부하, 속도 등

② 측정 목적의 결정 : 기계 상태의 신속한 주기 점검, 기계 상태의 상세한 검사, 예상되는 문제점의 Troubleshooting.

③ 측정 매개 변수의 선택 : 변위, 속도, 가속도, 스파이크 에너지 그리고 위상

④ 변환기 측정 위치와 방향의 결정

⑤ 측정 계측기의 선택 : 진동 측정기, 진동분석기, 오실로스코프 등

⑥ 측정 변환기의 선택 : 속도 픽업, 가속도계 또는 비접촉 픽업

⑦ 필요한 자료의 특정한 형태의 결정 : Overall (Broadband), 진폭 대 주파수, 진폭 대 시간, 스파이크 에너지, 위상

⑧ 측정 실행 : 측정 실행을 위한 가장 효과적인 방법 결정, 예상 밖의 결과에 주목, 추가 자료 수집에 관한 준비, 데이터의 근거와 타당성을 보증하기 위한 데이터의 검토

1-2 2 FFT 특성

FFT Properties

FFT는 시간영역의 신호를 주파수 영역으로 변환시키는 알고리즘이다. 그러나 신호를 주파수 영역으로 연속적으로 변환할 수는 없다. 먼저 샘플링을 한 후에 디지털화가 이루어져야 한다. 이것은 시간영역에서 샘플링된 자료가 그림 6-1에서 보는 것과 같이 주파수 영역에서의 샘플로 디지털화되는 것을 의미한다. 샘플링으로 인해 두 영역에서 원래의 신호를 동일하게 나타낼 수는 없다. 그러나 샘플 간격이 조밀할수록 샘플링된 신호는 원래의 신호에 근사하게 된다. 이 절의 마지막 부분에서는 정밀한 결과를 보장하기 위한 필요한 샘플 간격에 대해서 언급할 것이다.

그림 6-1 시간 및 주파수 영역에서의 FFT 샘플

시간기록(Time Record)이란 입력 신호를 연속적, 등간격으로 추출한 유한한 개수의 샘플을 말한다. 샘플의 수를 2의 배수로 하면 변환 알고리듬을 간단하고 빠른 속도를 갖게 만들 수 있기 때문에 샘플의 수를 2의 배수로 제한한다. 마이크로프로세서는 이진법(Binary Number)이라고 하는 2의 지수를 사용한다. 따라서 1024 개의 등간격 샘플은 210 개와 같다(만약 A/D 장비가 특별히 이와 같이 설계되었다면 “10 Bit A/D 장비”라고 한다).

이 시간기록은 하나의 다발로서 주파수 선의 한 다발로 변환된다. 주파수 영역의 모든 주파수 선을 계산하기 위해서는 시간기록(입력신호)의 모든 샘플을 필요로 한다. 이것은 한 개의 시간영역 샘플이 한 개의 주파수 영역의 선으로 변환되는 것을 의미하는 것이 아니다. 이에 대한 설명은 다음 절에서 기술한다.

FFT는 모든 시간기록을 한꺼번에 변환하기 때문에 시간기록이 완전히 수집되기 전까지 유효한 주파수 영역의 결과가 있을 수 없다. 그러나 일단 수집되면 그림 6-2에서 보듯이 모든 샘플이 시간기록에서 이동되어 가장 오래된 샘플은 버리고 새로운 한 개의 샘플이 시간기록의 끝에 추가된다. 따라서 초기에 시간기록이 일단 채워지면, 모든 시간영역 샘플에 대해 새로운 시간기록이 만들어진다. 이로 인해 일정 시간이 경과한 후에야 스펙트럼이 빠르게 변하게 된다. 비록 이것이 실용화되지는 않았지만 앞으로는 이용될 것이다.

그림 6-2 시간기록이 채워진후 모든 샘플을 추가한 새로운 시간기록

1.2.1 몇 개의 스펙트럼 線이 있는가? (How Many Spectral Lines are There?)

FFT 알고리듬은 “복소수” 연산이다. 즉 그 결과는 “실수”와 “허수”로 나타나며 주파수 영역의 성분은 양과 음의 주파수로 나타난다. 복소평면은 0에서 2π까지이다. 양의 벡터는 복소평면의 상반부에 위치한다. 따라서 양의 주파수는 0에서 π 사이에 놓인다. 음의 벡터는 복소평면의 하반부에 위치하기 때문에 음의 주파수는 π와 2π 사이에 놓인다(회전축의 한 회전은 2π 라디안임을 상기).

실수값 신호에 대해 양의 주파수 성분은 음의 주파수 성분과 대칭을 이룬다. 따라서 실수값 신호의 FFT의 진폭을 나타낼 때, 일반적으로 중복되는 음의 주파수 성분은 버린다. FFT 알고리듬으로부터 반쪽의 정보만을 표시하기 때문에 표시하기 전에 각 성분의 진폭에 2를 곱해준다(실수축에서 주파수 0이 되는 DC 성분은 제외).

요약해서 말하자면 주파수 영역에서의 각 성분은 복소수이다. 즉 각 성분은 진폭과 위상을 갖는다. 따라서 FFT는 시간영역에서 유한한 개수의 등간격 샘플을 주파수 영역에서 반으로 줄어든 수만큼의 선으로 변환한다 (식 (1) 참조). 이는 위에서 설명한 데로 각 주파수 선은 실제로 두 가지 정보-진폭과 위상-을 포함하기 때문이다.

따라서 실수값 신호에 대해 400 개의 스펙트럼 수를 계산하기 위해서는 800 개의 데이터 수를 필요로 하며, 800 개의 스펙트럼을 위해서는 1,600 개의 데이터를 필요로 한다. 그러나 Anti-Aliasing Filter의 Rolloff를 보상하기 위해 높은 주파수 성분의 데이터를 버린다. 실제로는 400 Line의 스펙트럼을 위해서는 1024 개의 데이터를 필요로 하며 800 Line을 위해서는 2048 개를 필요로 한다.

1.2.2 線 사이의 間隔이란? (What is the Spacing of the Lines ?)

분해 가능한 최소 주파수는 시간기록의 길이에 의해 결정된다. 만약 입력신호의 주기(T)가 시간기록보다 길면, 주기를 결정할 수 있는 방법이 없다. 따라서 FFT의 최소 주파수 선은 시간기록 길이의 역수에 해당하는 주파수와 일치한다.

F = 1/T F : 주파수(㎐ 또는 cpm), T : 주기(sec 또는 min)

또한 DC 성분에 해당하는 0 ㎐의 주파수 선이 있다. 이것은 단순히 시간기록동안 입력의 평균이다. 비록 이것이 실질적인 의미는 없지만 이들 두 선(따라서 모든 선) 사이의 간격이 시간기록의 역수임을 보여주는데 도움이 된다. 따라서 모든 스펙트럼은 주파수 축을 따라 수많은 개개의 수직선(또는 “Bin”)으로 이루어져 있다. 이들 중에서 진폭에 대한 정보를 갖고 있는 Bin만이 FFT Peak를 나타낸다.

1.2.3 FFT의 周波數領域이란? (What is the Frequency Range of the FFT?)

측정 가능한 최대 주파수는 다음 식으로 주어진다.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – (1)

왜냐하면 주파수 영역에서 0 ㎐로부터 시작하여 시간기록의 역수만큼의 간격을 갖는 선들이 1/2 만큼 있기 때문이다. 이 주파수 영역의 유용성은 “Aliasing”이라고 불리는 문제에 의해 제약을 받으며 이에 대해서는 다음 절에서 논의하기로 한다.

시간 샘플의 수(샘플의 크기)는 FFT의 알고리즘 방법에 의해 고정된다. 따라서 F_MAX(cycle/sec)를 변화시키기 위해서는 주기(sec/cycle)가 변화되어야 한다. 이렇게 하기 위해서는 변화되는 시간기록 주기 내에 항상 고정된 수의 시간 샘플을 갖도록 샘플링 비율을 변화시켜야 한다. 고주파를 포함하기 위해서는 시간기록 주기가 짧아야 하기 때문에 샘플링이 매우 빨라야 한다.

1-3 샘플링과 디지털화

Sampling and Digitizing

입력은 가속도계로부터 출력되는 연속적인 전압으로 가속도에 비례한다. FFT는 디지털 계산을 하기 위해 입력신호의 디지털화된 샘플을 요구하기 때문에 스펙트럼 분석기는 FFT 프로세서에 “Sampler”와 “Analog-Digital 변환기”(A/D)를 필요로 한다.

고정밀을 요구하는 분석기의 경우 고급의 Sampler와 A/D 변환기를 갖추어야 한다. A/D 변환기는 매우 높은 분해능과 선형성을 가져야 한다. 70 dB의 Dynamic Range를 갖기 위해서 A/D 변환기는 최소한 12 Bit의 분해능을 가져야 한다(12 Bit 장비는 2¹²와 같은 4096 개의 등간격 샘플 또는 간격을 갖는다). A/D 변환기는 최소한 1초당 100,000 번의 샘플링이 가능해야 한다.

1-4 앨리어싱

Aliasing

FFT 스펙트럼 분석기가 많은 수의 샘플을 필요로 하는 이유는 “Aliasing”을 피하기 위한 것이다. Aliasing은 항상 불필요한 것이 아니다. 이것은 Analog Electronics에서는 “Mixing” 또는 “Heterodyning”이라고도 부르며 라디오나 TV에서 동조를 위해 흔히 사용되고 있다.

1.4.1 周波數領域에서의 Aliasing (Aliasing in the Frequency Domain)

입력 주파수의 정확하게 두 배에 해당하는 샘플링 주파수가 항상 시간영역에서 충분한 것이 아니라는 것은 쉽게 알 수 있다. 그러나 그림 6-3에서 보듯이 만약 입력의 최고 주파수의 2배보다 큰 샘플을 취했을 경우 Alias 결과는 관심있는 주파수 영역에 들지 않는다. 따라서 Sampler 다음에 붙는 필터(또는 필터와 같은 역할을 하는 FFT 프로세서)가 Alias 결과를 제거하며 필요한 신호만을 통과시킨다. 만약 샘플링 비율이 작으면(<2), Alias 결과는 입력의 주파수 범위에 포함되게 되며(허위 주파수를 “발생”) 필터에 의해 이를 신호로부터 제거할 수 없게 된다.

그림 6-3 주파수 영역에서 본 Aliasing 제거방법

만약 두 신호의 주파수 차가 관심있는 주파수 범위에 포함되면 두 신호를 Alias 관계에 있다고 한다. 이러한 주파수 차이는 항상 샘플링 과정에서 발생한다.

1.4.2 Anti-Alias 필터의 필요성 (The Need for an Anti-Alias Filter)

입력 주파수 영역을 제한하기 위한 확실한 방법은 Sampler와 A/D 변환기 앞단에 저주파 통과 필터를 추가하는 것이다. 이러한 필터를 Anti-Alias 필터라고 한다. 필터의 점진적인 Rolloff 영역을 과도 대역(Transition Band)이라고 한다. 과도 대역에서는 입력신호의 많은 양이 감쇠되지 않기 때문에 여전히 Alias 효과를 발생시킨다. 이를 피하기 위해 샘플링 주파수를 과도 대역의 최대 주파수보다 2배정도 증가시킨다. 실제로는 최대 입력 주파수의 2.5배까지 샘플링 비율을 증가시킨다.

1.4.3 한 개 이상의 Anti-Alias 필터의 필요성 (The Need for More Than One Anti-Alias Filter)

주파수 폭을 줄이기 위해 샘플링 비율과 Anti-Alias 필터 주파수를 동일한 양으로 줄여야 한다. 넓은 주파수 대역을 포함하기 위해 각 채널마다 많은 수(최소한 12개)의 Anti-Alias 필터를 필요로 한다. 불행하게도 이들은 매우 고가이며 특히 최저 주파수 필터는 더더욱 비싸다. 또한 A/D 변환기의 샘플링 비율이 바뀔 때마다 다른 필터를 사용해야 한다. 이러한 것이 Analog 필터이다.

1.4.4 Digital Filtering

디지털 필터는 샘플링되고 디지털화된 입력신호를 필터링 한다. A/D 샘플 비율은 최고주파수 영역을 포함시키기 위한 비율에 의해 결정된다. 매번 다른 Anti-Alias 필터로 대치하기보다는 하나의 Analog Anti-Alias 필터를 사용한다. 그러면 A/D 변환기 뒷단에 디지털 필터를 붙이면 된다. 이는 필요한 주파수 영역에 맞도록 입력신호를 필터링할 뿐만 아니라 필요한 비율에 맞도록 샘플링 비율을 줄여준다.

1.4.5 t_MAX와 F_MAX를 計算하기 위한 公式 (Formulas Used to Calculate t_MAXand F_MAX)

Nyquist 샘플링 이론은 샘플링된 신호에 포함된 어떠한 정보도 잃지 않기 위해 최대 주파수의 최소한 2배에 해당하는 주파수 비율로 샘플링하는 것을 말한다. 따라서 Nyquist 이론을 만족시키기 위해서는 F_MAX의 2배 보다 조금 큰 샘플링 비율을 선택하는 것이다 (2.56×F_MAX가 보통). 다음 식은 F_MAX가 알려져 있는 경우 데이터 수집을 위한 시간을 계산하거나 반대로 시간을 알고 있는 경우 F_MAX를 계산하기 위한 공식이다.

– – – – – – – – – – – – – – – – – (2)

여기서

t_MAX = 얼마만큼 자주 진폭을 측정하고 기록해야 하는 가를 정해주는 전체 샘플링 주기(sec).

Sample Size = 시간파형을 구성하기 위한 A/D 변환 수(샘플 – 1024 개의 샘플은 400개의 FFT Line을 제공).

Freq. Span = F_min에서 F_max까지의 주파수 영역(cpm); 종종 0에서 F_MAX.

– – – – – – – – – – – – – – – – (3)

여기서

t_MAX = 얼마만큼 자주 진폭을 측정하고 기록해야 하는 가를 정해주는 전체 샘플링 주기(sec).

Sample Size = 시간파형을 구성하기 위한 A/D 변환 수(샘플 – 1024 개의 샘플은 400개의 FFT Line을 제공).

F_MAX = 최대 스펙트럼 주파수 또는 주파수 영역(cpm)

만약 이러한 조건이 지켜지지 않으면(Anti-Aliasing 필터를 사용하지 않음에 따라) 샘플된 파형에서 고주파 성분은 저주파 성분으로 나타난다. 이러한 현상의 한 예는 마차 바퀴가 뒤로 도는 것같이 보이는 오래된 서부 영화의 한 장면에서 볼 수 있다. 이것은 필름 속도(샘플링 비율)가 마차 바퀴의 속도에 비해 너무 느리기 때문이다. 진동 분석자들은 일정한 속도로 회전하는 회전체에 스트로보 스코프의 발광 주기를 변화시킬 때 동일한 효과를 관찰할 수 있다.

1-5 윈도우의 선택

Window Selection

1.5.1 윈도우의 必要性 (The Need for Windowing)

만약 시간기록에서 정현파가 주기적이면, 윈도우를 사용하지 않았을 경우 이의 주파수 스펙트럼은 하나의 FFT Line으로 주어진다. 그러나 시간기록에서 정현파가 비주기적이면 이의 파워는 스펙트럼에서 퍼지게 된다. 주파수 스펙트럼 영역에서 이와 같이 에너지가 퍼지는 것을 “누설(Leakage)”이라고 한다. FFT의 한 Line의 에너지가 다른 Line으로 누설된 것을 그림 6-4에서 볼 수 있다.

그림 6-4 시간 기록에서 정현파가 비주기적일때 누설이 일어나고 잔여 스펙트럼에 영향을 미친다.

그림 6-4에서 보듯이 Leakage 문제로 인해 정현파 근처에 있는 작은 신호가 완전히 묻힐 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위한 방법이 “윈도우”를 이용하는 것이다.

대부분의 문제는 시간기록의 양 끝단에 있는 것처럼 보이는 것에 유의하자. 가운데 부분은 좋은 정현파이다. 만약 FFT가 시간기록의 양 끝단 부분을 무시하고 가운데 부분에 중점을 둔다면 주파수 영역에서의 스펙트럼은 한 개의 선에 가깝게 나타날 것이다. 윈도우가 이러한 일을 수행한다 – 즉 윈도우는 샘플링된 데이터의 첫 부분과 끝 부분을 0으로 놓아 Leakage를 최소화한다.

1.5.2 윈도우란 무엇인가? (What is Windowing ?)

만약 시간기록의 양 끝 부분을 0으로 하고 가운데 부분을 크게 해주는 함수와 곱해 준다면 FFT는 시간기록의 중심부에 중점을 두게 된다. 이러한 함수의 하나가 그림 6-5A(c)에 주어져 있다. 이러한 함수는 마치 좁은 창(윈도우)을 통해 데이터를 보는 것과 같기 때문에 이를 “윈도우 함수”라고 한다. 그림 6-5A(c)와 같이 “Hanning” 윈도우를 적용하면 불연속점이 “채워지기” 때문에 그림 6-5A(d)에서와 같이 샘플링된 신호는 마치 연속적인 것처럼 나타난다. 따라서 샘플링된 데이터는 0에서 시작하여 0으로 끝나게 된다. 그림 6-5B는 한 주기의 파형에서 비주기성을 갖는 시간기록을 보여준다. 그림 6-5B(b)에 (Hanning) 윈도우를 취하면 비주기적 파형이 “주기적”인 것처럼 “나타난다.”

그림 6-5A 시간영역에서 Window 의 영역

그림 6-5B Window를 취하면 비주기적 파형이 주기적인 것처럼 나타나게 하는 것을 보여주는 간략화 도면.

그러나 입력 데이터가 윈도우에 의해 변화되기 때문에 완전한 결과를 기대하기가 어렵다. FFT는 입력이 그림 6-5A(d)와 같이 마치 진폭 변조된 정현파로 가정하게 된다. 이것은 그림 6-5A(b)의 스펙트럼보다는 한 개의 Peak에 좀 더 가까운 주파수 스펙트럼을 주게 되지만 아직도 100% 정확한 결과가 아니다. 비록 그림 6-6이 시간기록에서 비주기적인 것을 윈도우를 사용함으로써 많이 개선된 결과를 보여 주지만, 실제로 존재하지 않는 스펙트럼 성분(또는 Sideband)를 나타내기 때문에 정확한 것이 아니다. 6-7은 시간기록에서 주기적인 신호에 윈도우를 사용하지 않았을 때의 스펙트럼 보다 윈도우를 사용하였을 때의 스펙트럼이 넓은 것을 보여준다.

a) Sine wave not periodic in time record

b) FFT results with no window function

c) FFT results with a window function

그림 6-6 Window를 씌움으로써 Leakage가 감소됨.

a) Leakage free measurement – Input periodic in time record

b) Windowed measurement – Input not periodic in time record

그림 6-7 Window를 씌움으로써 Leakage는 감소되나 제거되지는 않음

1.5.3 Hanning Window

진동 해석에서 가장 널리 이용되는 것이 Hanning 윈도우이다. 실제로 그림 6-5에서 사용한 것이 Hanning 윈도우이다. Hanning 윈도우는 주기적이거나 비주기적인 정현파에 대해서는 잘 적용이 된다. 그러나 Hanning 윈도우를 사용하더라도 시간기록이 비주기적인 신호일 때는 약간의 Leakage가 있게 된다.

FFT는 일련의 병렬 필터로써 작용하는 것을 상기하자. 그림 6-8은 Hanning 윈도우를 사용하였을 때 이들 필터의 형태를 보여준다. Hanning 함수는 꼭대기가 둥근 모양을 갖는 것에 유의하자. 만약 입력신호의 한 성분이 필터의 중앙에 위치하면 이의 진폭은 정확하게 측정될 것이다. 반면에 신호의 성분이 필터와 필터의 가운데 놓일 경우 1.5 dB(-16%)까지의 감쇠를 가져온다.

그림 6-8 Hanning Window Passband Shapes

이를 보기 위해 다음과 같은 예를 살펴보자.

Induction Motor Speed = 1785 rpm

F_MAX = 12,000 cpm

No. FFT Lines = 400 Lines (Hanning 윈도우)

Freq. Resolution = 30 cpm/line (1785 Rpm은 1770과 1780 cpm Bin의 가운데 위치하며 이는 실제 진폭보다 16% 낮은 진폭 값을 읽는 것을 의미함).

만약 F_MAX = 6,000 rpm이면, 1785 rpm은 Bin의 중앙에 놓이게 되어 진폭값을 읽는데 감쇠가 없음을 의미. 따라서 Hanning 윈도우를 사용하면 진폭 측정에서 항상 실제 값보다 0%에서 16%의 오차를 갖게 된다.

다시 말하자면 Hanning 윈도우는 주파수 분해능을 향상시키지만 진폭 정밀도를 낮춘다. 따라서 Hanning 윈도우는 그림 6-9a에서 보는 바와 같이 Impact Test와 같은 과도신호로부터는 정보를 잃는다. 만약 그림 6-9b와 같은 Hanning 윈도우를 과도 입력신호에 곱해주면 그림 6-9a와 같이 크게 왜곡된 신호를 발생시킨다. 그림 6-10은 실제 과도신호에 Hanning 윈도우를 사용한 경우와 사용하지 않은 경우의 주파수 스펙트럼을 보여준다. 스펙트럼 영역에서 에너지가 분포되어 있는 과도신호를 Hanning 윈도우는 마치 정현파의 그것과 같이 만들어 준다.

그림 6-9 Hanning Window를 사용하면 과도 신호로부터 정보를 잃는다.

a) Unwindowed Transient

b) Hanning Windowed Transient

그림 6-10 Hanning Window를 사용한 경우와 사용하지 않은 경우의 과도신호의 스펙트럼.

1.5.4 Uniform(Rectangular) Window

Hanning 윈도우는 과도진동에는 적용되지 않기 때문에 모든 시간기록에 대해 똑같은 비중을 두는 Uniform 윈도우(윈도우가 없는 것)를 사용한다. 과도진동의 경우 시간기록 내에서 과도현상이 완전히 종결되기 때문에 분석기는 입력신호에 대한 윈도우를 필요로 하지 않는다. 이것을 “Self-Windowing Function”이라고 한다. 이것은 FFT에서 Leakage를 발생시키지 않으며 윈도우가 필요하지 않다. Uniform 윈도우는 Impact에 의한 고유진동수 시험에 매우 유용하다. 반면에 Uniform 윈도우를 비주기적 정현파에 사용하면 스펙트럼에서 Leakage 또는 퍼짐 현상을 제거할 수 없다. 더욱이 Uniform 윈도우의 경우 진폭변화는 36%까지 된다.

1.5.5 Flattop Window

Hanning 함수는 위가 둥근 모양을 하고 있다. 이러한 특성이 주파수 Peak를 식별하는데 필요하지만 신호의 진폭을 정확하게 측정하는 데는 적합하지 않다. 이에 대한 해법은 그림 6-11에서와 같이 윗부분이 평평한 대역통과 필터 특성을 갖는 윈도우 함수를 이용하는 것이다.

이 윈도우를 이용할 경우 진폭 오차는 0.1 dB(1%)를 넘지 않는다. 정밀도의 향상은 다른 대가를 지불한다. 그림 6-12는 대역통과 필터의 윗부분이 평평한 대신 대역폭이 넓어진 것을 보여준다. 따라서 큰 성분 근처에 있는 작은 신호를 분해하는 능력을 상실한다.

다른 많은 윈도우 함수가 가능하지만 위에 언급한 세 가지가 일반적인 측정에서 가장 보편적으로 사용되고 있다. 요약해서 말하자면 Flattop 윈도우는 진폭 측정에 가장 적합하며 Kaiser-Bessell 윈도우는 주파수 분리에 가장 적합하다. 반면에 Hanning 윈도우는 이들 둘을 가장 적절하게 절충한 것이다.

그림 6-11 Flat-top Passband Shapes

그림 6-12 Hanning과 Flattop Window의 주파수 분해능 비교