1-8-3 자유도계의 강제진동

Forced Vibration of Single Degree of Freedon Systems

3.1 개요 (Introduction)

3.2 운동방정식 (Equation of Motion)

3.3 조화가진에 대한 감쇠 시스템의 응답 (Response of a Damped System under Harmonic Force)

3.4 회전 불평형에 대한 감쇠 시스템의 응답 (Response of Damped System under Rotating Unbalance)

1-8-3-1 개요

Introduction

어떤 동적 시스템은 강제 혹은 여기함수라 불리는 일종의 외력 혹은 여기력에 의해 지배된다. 이 여기력은 보통 시간 의존성이며 조화적, 비조화적이나 주기적, 비주기적 혹은 본질적으로 랜덤일 수도 있다. 조화 여기에 대한 시스템의 응답을 조화응답이라한다. 갑자기 가해진 비주기적인 여기에 대한 시스템의 응답을 과도응답이라 한다. 여기서는 조화여기에 의한 1자유도계의 동적응답을 논의한다. 가장 일반적인 형태의 조화여기는 혹은 의 형태를 가지며 는 상수로써 여기 진폭을 의미하고 ω는 조화진동의 주파수, ψ는 위상각이다. ψ의 값은 t=0에서의 F(t) 값에 의존하며 보통 0이다.

1-8-3-2 운동방정식

Equation of Motion

만약 힘 F(t)가 그림 8-28에서 보는 바와 같이 점성감쇠의 스프링-질량시스템에 가해진다면 운동방정식은 뉴튼의 제2법칙을 이용하여 구할 수 있다.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (105)

이 방정식은 비동차이기 때문에 일반해 χ(t)는 동차해 와 특수해 의 합으로 주어진다. 동차해는 동차방정식

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (106)

해이다. 식 (106)은 시스템의 자유진동을 나타내며 2항에서 언급되었다.

그림 8-28 스프링-질량-댐퍼시스템

2절에서 본바와 같이 자유진동은 3개의 가능한 감쇠조건과 모든 가능한 초기조건 하에서 시간이 경과함에 따라 소멸된다. 그러므로 식 (105)의 일반해는 결과적으로 특수해 와 같게되며 정상 상태를 나타낸다. 정상 상태의 운동은 강제함수가 존재하는 한 유지된다. 전형적인 경우에 대한 동차, 특수 및 일반해의 시간에 따른 변화가 그림 8-29에 제시되어 있다.

는 소멸되고 는 어떤 시간의 경과후 가 됨을 볼 수 있다. 감쇠로 인해 소멸되는 운동의 일부분을 과도상태라 한다. 과도운동이 소멸되는 비율은 시스템의 변수 , c 및 m 의 값에 좌우된다. 이 절에서는 과도상태는 생략하고 특수해만 유도한다.

그림 8-29 부족감쇠에 대한 동차, 특수 및 일반해

1-8-3-3 조화가진에 대한 감쇠 시스템의 응답

Response of a Damped System under Harmonic Force

외력함수가 로 주어지면 운동 방정식은

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (107)

식 (107)의 특수해는 역시 조화적이라고 예상되며 다음과 같은 형태를 가진다고 가정한다.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (108)

Χ와 ψ는 결정되어야 할 상수이며, 각각 응답의 진폭과 위상각을 나타낸다.

식 (108) 및 식 (107)에 대입하면

– – – – – – – – – – – – – – – – – (109)

삼각법의 관계식을 이용하여

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (110)

가 되며 식 (109)를 위의 관계식을 이용하여 전개하면

식 (110)을 cosω t 및 sinω t 항으로 정리하고 식 (109)와 비교하여 정리하면

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (111)

이 된다. 앞에서 구한 2개의 방정식에 대해 cosωt나 sinωt의 상수항을 같다고 놓으면

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (112)

행렬식으로 맞추기 위해 앞의 두 식을 순서가 맞도록 조정하면

가 된다.

x 항을 정리하고 나면

가 된다. 앞의 두 식을 행렬식으로 표현하면

로 된다.

위의 행렬식을 풀면

이 되고

로부터

∴ – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (113)

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (114)

식 (113)과 식 (114)을 식 (115)에 대입하면

– – – – – – – – – – (115)

그림 8-30은 가진함수와 정상상태의 응답을 전형적인 그래프로 보여준다.

그림 8-30 가진함수와 그 응답의 그래프형태로 표현

식 (113)의 분모와 분리를로 나누고 다음 식을 대입하면

= 비감쇠 고유진동수

= 가진력 에 의한 정적변위

식 (113)을 변경하여

= 주파수비로 나타내면

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (116)

가 된다. 같은 방법으로

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (117)

는 확대계수(Magnification Factor), 증폭계수(Amplification Factor) 혹은 확대비라고 한다. 및 ψ의 주파수비 r 및 감쇠비 ζ에 대한 변화가 그림 8-31에 나타나있다.

그림 8-31 주파수비 r에 따른 X 와 ψ의 변화

다음의 결과가 식 (116), 식 (117) 및 그림 8-31로부터 구해졌다.

① 부족감쇠계(ζ=0)에 대해 위상각 ψ=0가되고 식 (117)은

로 된다.

② 감쇠는 가진주파수의 모든 값에 대해 확대비를 감소시킨다.

③ 감쇠의 존재하에서 증폭비의 감소는 공진부근에서 매우 중요하다.

④ 감쇠가 존재하는 상태에서 최대 증폭비는 혹은 에서 나타나며 이는 비감쇠 고유진동수과 감쇠 고유진동수 보다 더 낮은 주파수이다.

최대 확대비가 나타나는 주파수비를 찾기 위해서 식 (116)을 r에 대해 미분하고 좌변을 0으로 놓으면

∴

(-항은 무시함)

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (118)

가 된다.

⑤ X 의 최대값 (에서) 은

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (119)

이다.

에서의 X값은

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (120)

식 (119)은 시스템에 존재하는 감쇠 측정에 있어서 실험적 결정을 할 때에 사용할 수 있다. 진동 측정에 있어서 만약, 응답의 최대 진폭 가 측정된다면 시스템의 감쇠비는 식 (119)을 사용함으로써 구할 수 있다. 역으로 만약 감쇠량을 알고 있다면 진동의 최대 진폭을 계산할 수 있다.

⑥ 에 대해 그림 8-31의 X 는 최대값이 없다. 그 이유는 식 (118)에서 ζ값이보다 큰 경우에는 가 허수가 되기 때문에 모든 값의 ω에 대해 최대값 혹은 피크값이 없다.

감쇠가 감소함에 따라는 ω에 접근하며 일반적인 비감쇠 공진조건이 된다는 것을 주목해야 한다. ζ가 0에서 증가함에 따라 그림 8-31에서의 선도는 수직선 r=1에서 점점 더 왼쪽으로 떨어져서 피크를 가진다. 결국 감쇠비가 보다 커지면 의 최대값은 에서 일어난다. 많은 경우에 ζ는 작으므로 값은 1에 매우 가깝게 된다. 따라서 비감쇠 공진조건 (즉, )이 부족감쇠인 경우에도 공진에 대해 종종 사용된다. 예를 들면 ζ=0.1에 대해 비감쇠 고유진동수가 200 ㎐인 어떤 시스템은 198 ㎐의 피크값을 가지며 이것은 1%의 오차 보다 작다( 대신 ). 따라서, 피크에 해당하는 주파수 값을 종종 단순히 고유진동수로 취할 때가 있다.

⑦ 위상각은 시스템의 변수 m , c 및 가 외력 주파수 ω에 따라 좌우되나 외력함수의 진폭 F_o와는 무관하다.

⑧ 응답 (t) 혹은 X가 외력함수 F(t) 혹은 F_o에 대해 지연되어 나타나는 위상각 ψ는 의 값이 작을 때는 대단히 적다.

의 값이 상당히 클 때는 위상각은 점차로 180˚에 접근한다. 그러므로 진동 진폭은 <<1일 때 가진력에 대해 동위상(in-phase)이고 >>1일 때는 역위상(Out of Phase)이다. 공진에서의 위상각은 모든 감쇠치에 대해 90˚이다.

⑨ 공진이하에서는 위상각은 감쇠가 증가함에 따라 증가한다.

공진이상에서는 위상각은 감쇠가 증가함에 따라 감소한다.

공진과 관련한 또 하나의 중요한 현상은 가진력과 이로 인한 진동간의 위상 관계(위상각)의 변화이다. 공진 주파수 이하에서 탁월한 구속력은 강성임이 분명하다. 환언하면 강성은 진동에 대항하는 주요한 힘이다. 그 결과 공진주파수 이하에서 발생하는 진동에 대해서는 강성력이 실제 진동 운동과 180˚ 위상차가 있음을 가정할 수 있다. 그러나 공진주파수 이상의 높은 주파수에서는 관성이 탁월한 구속력이 됨이 분명하다. 따라서 공진주파수 이상에서 발생하는 진동에 대해서는 관성력은 진동 운동과 180˚ 위상차가 있어야 한다. 그리고 그 결과는 시스템이 공진을 통과할 때나 그 시스템이 강성에 의해 주로 제어되는 상태로부터 관성에 의해 주로 제어되는 상태로 변화할 때 가진력과 실제 진동간의 위상각 관계에서 180˚ 변화가 있음이 틀림없다. 환언하면 공진 이하의 주파수에서 발생하는 진동에서는 기계의 진동 운동은 가진력과 동상이고 공진주파수 이상에서 발생하는 진동주파수에서는 기계의 진동 운동은 가진력과 역상(180˚ 위상차)이다.

그림 8-31은 고저 감쇠 시스템에서 진동주파수 함수로써 위상 관계의 변화를 나타내고 있다. 상당히 낮은 감쇠 시스템에서 180˚ 위상 변화는 대단히 작은 주파수 범위에서 발생할 수 있음을 기억하라. 또한 그림 8-31에서 정확히 공진 주파수에서 발생하는 위상 변화는 90˚임을 알 수 있다.

가진력과 이로 인한 진동 운동간의 위상 관계의 이러한 변화의 중요성은 축이 공진점, 그 이하 및 그 이상에서 운전할 때 불평형, 축진동 및 처짐의 영향을 나타내는 그림에서 잘 보여주고 있다. 임계 속도 이하의 속도에서 운전할 때 축은 주로 강성에 의해 제어되며 불평형력에 의해서는 상당히 작은 굽힘을 나타낸다. 실제로 임계속도 이하에서 운전할 때 축은 강성 로터로 간주된다. 그러나 임계속도 이상에서 운전할 때는 관성이 주요한 제어력이 되며 강성은 거의 관련이 없다. 그리고 로터의 임계속도 이상에서 운전할 때 근본적으로 강성이 없기 때문에 축은 탄성 상태가 되며 실제로 탄성 로터라고 한다. 이러한 상태 하에서 축은 저항이 가장 적은 길을 따른다. 즉 모든 축은 로터의 무게(또는 모멘트)가 균등하게 분포된 축인, 주관성축(Central Principal Axis)이라고 하는 축에 대하여 회전하려고 한다. 그리고 그림 8-32의 로터 무게는 무게 중심에 대하여 균등하게 분포되었고 또한 불평형은 축의 회전 중심으로부터 떨어져 무게 중심에 위치하고 있기 때문에 로터는 탄성에 의해 즉 강성이 없어 휘어질 것이고 따라서 회전축 즉 주관성축은 실제로 무게 중심을 통하여 통과한다. 이런 일이 발생하면 그림 8-32에서 로터 축은 실제로 Heavy Spot로부터 떨어져 휘게됨을 볼 수 있다. 환언하면 임계속도 이상에서 탄성 로터로써 운전할 때 축은 Heavy Spot과 180˚ 반대 방향으로 휠 것이다.

앞서 언급한 위상 문제는 학술적인 것 같이 보일지 모르지만 공진의 이해와 가진력과 그로 인한 진동 운동간에 존재하는 위상 관계에 미치는 공진의 영향이 공진을 정확히 진단하고 공진 문제를 해결하는데 아주 중요한 것임이 분명하다.

그림 8-32의 임계속도 이하에서 운전할 때 로터는 강성 상태가 되고 Unbalance Heavy Spot 쪽으로 휠 것이고, 임계속도 이상에서 운전할 때 로터는 탄성 상태가 되고 주관성축을 따라 회전하려고 할 것이며 Heavy Spot과 반대방향으로 휘게 하려는 힘이 작용한다.

⑩ 총 응답(Total Response)

완전해 는

– – – – – – – – – – – – – – – – – (121)

여기서

그림 8-32 임계속도 전후의 Unbalance 위치에 따른 로터 응답

1-8-3-4 회전 불평형에 대한 감쇠 시스템의 응답

Response of a Damped System under Rotating Unbalance

회전기계의 불평형은 진동의 주요 원인중의 하나이다. 이와 같은 기계의 단순모델이 그림 8-33에 나타나있다.

그림 8-33 회전 불평형 질량

이 기계의 총질량은 M이고 2개의 편심질량 m /2이 일정 각속도 ω로 서로 반대방향으로 회전하고 있다. 각 질량으로 인한 원심력 는 질량 M을 가진 시키는 원인이 된다. 2개의 동등 질량 m /2이 서로 반대 방향으로 회전하게 함으로써 두 질량의 원심력의 수평방향 분력은 서로 상쇄된다. 그러나, 원심력의 수직분력은 서로 합해진다. 만약 질량의 각도의 시작점이 수평 위치로부터 시작한다면 원심력의 총 수직 분력은 가 된다.

운동방정식은 다음과 같이 유도된다.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (122)

이 방정식의 해는

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (123)

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (124)

이라 하면

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– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (126)

각각의 ζ값에 대한 MΧ/ m e의 r에 대한 변화는 그림 8-34에 나타나 있다.

그림 8-34 주파수비 r에 대한

다음의 결과는 식 (125)와 그림 8-33으로부터 구해진 것이다.

① 모든 곡선이 0의 진폭으로부터 시작한다. 공진 부근의 진폭은 감쇠에 의해 현저하게 영향을 받는다. 그래서 만약 기계가 공진부근에서 운전된다면 감쇠는 위험한 크기의 진폭을 피하기 위해 충분히 고려되어야만 한다.

② 아주 높은 속도에서는는 거의 1이 되고 감쇠 효과는 거의 무시된다.

③ 의 최대값은

일 때이며

이 r값은 항상 1보다 크다.

피크 값은 공진에서의 값 (r>1)의 오른쪽에 나타난다.

[예제] 어떤 변속 전동기가 고정자와 회전자 사이의 반경 방향 간극이 1 ㎜이며 회전자의 질량은 25 ㎏이고 5 ㎏-㎜의 불평형량을 갖고 있다. 회전자는 그 베어링 사이의 중간에서 축위에 설치되어 있다. 두 베어링 사이의 거리는 2 m 이다. 이 기계의 운전속도는 600 rpm으로부터 6000 rpm까지 변화한다. 주어진 운전속도 범위내에서 로터는 항상 고정자와 접촉하지 않도록 하는 축의 직경을 결정하라. 감쇠는 무시한다.

[해]

회전 불평형으로 인한 축의 최대 진폭은

(127)